Ich würde die Pieper auf keine Art und Weise einfangen jetzt, es sei denn sie müssten zum Arzt.
Richte den neuen Käfig ein und dekoriere ihn von innen mit ordentlich Hirse. Stell ihn neben den alten Käfig und warte ab. Meist siegt irgendwann die Neugier und sie werden den neuen Käfig erkunden. Oder Du lotst sie von einem Käfig in den anderen. Also neuen Käfig Tür an Tür mit dem alten und dann vorsichtig lotsen (meist reicht es ja schon, wenn man die Hand ans Gitter nimmt um sie in eine Richtung zu bekommen).
Vor allem aber: Plan viel Zeit ein, hab Geduld und denk dran, das sie einfach Angst haben und dich nicht ärgern wollen.