Grundsätzlich gibt es da sicher Möglichkeiten, aber die sind sicher nicht billig.
Mal ne blöde Frage: was wird die Nachbarin dann im Gegenzug unternehmen, wenn ihr Kind die ganze Nacht durch schreit? Das hörst du dann sicher noch mehr als sie deine Vögel und die machen nur am Tag Lärm, nicht in der Nacht. Das sind einfach Geräusche, die sich nicht vermeiden lassen.
Solange dein Vermieter da kein Problem sieht, hast du auf jeden Fall nichts zu befürchten.
Ist natürlich immer doof, wenn man Streit mit den Nachbarn hat. Ich will das auch nach Möglichkeit immer vermeiden und suche letztlich einen Weg, der für beide in Ordnung ist. Wenn sie selbst das so sehr stört, kann sie auch Ohrstöpsel rein machen, Kopfhörer aufsetzen oder ähnliches. Würdest jetzt nicht du da wohnen, sondern eine mehrköpfige Familie mit Kindern, hätte sie ein noch viel größeres Problem als die paar tschilpenden Vögelchen. Ich hatte genau dieses Problem auch mal und in meiner Wohnung bebten Wände und Boden, klirrten Fenster, als es über mir los ging (mit nur 1 Kind). Alles was mir blieb, war der Auszug (davon ab hatte ich dort auch ein Schimmelproblem). In meiner neuen Wohnung kann ich nun telefonieren und fernsehen, was in der alten Wohnung zeitenweise absolut nicht möglich war.